10.Bölüm: Parametrik Olmayan Testler

Herhangi bir testin parametrik testlerle yapılabilmesi için ölçek türünün oranlı veya aralıklı olması, normal dağılım göstermesi ve homojen olması gerekir. Normal dağılımın olmadığı durumlarda parametrik olmayan testler kullanılır. 

Bağımlı değişkenlerin normal dağılımı, varyans eşitliği vb. şartlar parametrik/ non parametrik test seçimine karar vermemizi sağlarken, testin türüne karar vermek için bağımsız değişkenin aldığı değere bakılmalıdır. Sınıflama türü gibi kategorik değişkenlerde normallik dağılımına bakılmaz.

Parametrik olmayan testler, Tek Örneklem, İki Örneklem ve K-Örneklem Testleri şeklinde incelenir.

10.1 TEK ÖRNEKLEM TESTLERİ

10.1.1 Binomial Test:

 Olayların olumlu-olumsuz, var-yok, başarılı-başarısız gibi iki sonuçlu olduğu durumlarda kullanılır. Bu olaylar 0 ve 1 şeklinde gösterildiğinde bu test uygulanabilir.

10.1.2.Ki-Kare Uygunluk Testi:

Kategorik olarak oluşturulan bir değişkenin her bir kategorisinde beklenen değerler ile gözlenen değerler arasındaki farkın anlamlılığını inceler. 

Bu testin kullanılabilmesi için beklenen değeri beşten küçük olan kategori sayısının, toplam kategori sayısının %20'sini aşmaması ve tüm kategorilerde bu değerin birden büyük olması gerekir. Bu koşulun sağlanamadığı durumlarda, mantıklı ise kategoriler arası birleştirme yoluna gidilebilir.

Tek örneklemli ki-kare, tek gruplu araştırmalarda tek bir değişkenin incelendiği analizdir. Deneysel ya da tarama çalışmalarında kullanılabilir. Araştırma sorusu iki farklı biçimde oluşturulabilir:

• Y değişkeninin kategorilerine dair dağılımlar arasında anlamlı bir fark var mıdır?
• Y değişkeninin kategorilerinde, gözlenen değerler ile beklenen değerler arasında anlamlı bir fark var mıdır? şeklinde oluşturulabilir.

Örnek Problem Durumu:

Öğrencilerin cinsiyet ve şubelere göre seçmeli ders tercihleri ile etkinlik tercihlerinin yer aldığı veri setine sahip olduğumuzu varsayalım.

"Öğrencilerin etkinlik tercihleri arasında anlamlı bir fark var mıdır?" sorusunun cevabı Ki-kare analizi ile yapılır.

Analiz Adımları:

Spss programı içerisinde Analyze menüsü-->Non Parametric Tests -->Chi-Square adımları takip edilir.

Açılan pencerede Test Variable List kısmına etkinlik değişkeni aktarılır ve Ok butonuna tıklanır.

Analiz sonucunda oluşan output dosyasındaki veriler yorumlanmak üzere düzenlenir.

Bulguların Yorumlanması:

Tablo X: Öğrencilerin Etkinlik Tercihleri Frekans Dağılımı ve Ki-Kare Testi Sonucu

 

Etkinlikler	N	%
Basketbol	18	16,7
Voleybol	24	22,2
Hentbol	24	22,2
Tenis	21	19,4
Çim hokey	21	19,4
Toplam	108	100,0

x²=1,167    p= 0,884 > 0,05

Öğrencilerin etkinlik tercihlerine bakıldığında 18 kişinin Basketbol seçtiği görülmüştür. Voleybol ve Hentbol seçen kişi sayısının eşit olduğu ve yine Tenis ile Çim Hokey’ini seçen kişi sayılarının da eşit olduğu görülmüştür. En çok tercih edilen etkinlik %22,2 değeri ile Voleybol  ve Hentbol olmuştur. Öğrencilerin etkinlik tercihlerinde farklılaşma olup olmadığına bakmak için ki-kare testi uygulanmıştır. Elde edilen sonuçlara göre p= 0,884 > 0,05 olduğundan öğrencilerin etkinlik tercihlerinde istatistiksel düzeyde anlamlı bir farklılık yoktur sonucuna ulaşılır.

10.1.3 Kolmogorov-Smirnov Uygunluk Testi:

Rassal bir örneklemin, belirli bir dağılıma(düzgün, normal veya poisson) ne kadar iyi uyduğunu belirlemede kullanılır.

10.1.4. Diziler(Runs) Testi:

N hacimlik bir örneklemde, değerlerin gözlenme sıralarına göre rastgeleliğini test eder. Ele alınan örneklemin K gibi bir değer göre( ortalama, mod, medyan veya araştırmacının belirleyeceği bir değer) ard arda gelişlerindeki kümelenmenin rastgelelik koşullarına uygunluğunu test etmek için diziler testi uygulanır. Test edilecek değişken iki sonuçlu olmalıdır. Bu testte değerlerin, gözlenme sıralarına göre ard arda gelişlerinde K'dan küçük ya da büyük olmalarına göre oluşturdukları kümelere dizi(run) adı verilir.

10.2. İKİ ÖRNEKLEM TESTLERİ

Araştırmacı, iki işlemin birbirinden farklı olup olmadığını veya bir işlemin diğerinden daha iyi olup olmadığını belirlemek istediğinde bu testleri kullanabilir. Bu testler parametrik testlerde eşleştirilmiş ve bağımsız t-testine karşılık gelen testlerdir.

10.2.1.Eşleştirilmiş İki Örneklem Testleri

Eşleştirilmiş iki örneklem testinde hangi testin kullanılacağı veri tipine bağlıdır. Eğer değişkenler sürekli değişken ise, İşaret  Testi veya Wilcoxon İşaret testi kullanılır.

a)Wilcoxon İşaret Sıralaması Testi:

İlişkili iki ölçüme ait puanlar arasındaki farkın anlamlılığını test etmek amacıyla kullanılır. Bu test, bağımlı değişkenin en az sıralama ölçeğinde olmasını ve gözlem çiftlerinin birbirinden bağımsız olmasını gerektirir. Analiz fark puanlarının küçükten büyüğe doğru, 1 'den başlayarak işaretine dikkat etmeksizin sıra sayılarının verilmesi temeline dayanır. Daha sonra + ve - işaretli olan fark puanlarının sıra sayıları toplanır. test edilen durum gerçekte, bu iki sıra sayıları toplamı arasındaki farktır. Aynı puanlar analiz dışı tutulur ve analiz küçük lan sıra toplamları üzerine kurulur. Wilcoxon işaretli sıralar tekniği, z-test istatistiğini kullanır.

Bu test az denekli gruplar içi araştırmalarda sıklıkla kullanılır. Burada eşleştirilmiş iki grup üzerinde ya da aynı denekler üzerinde farklı zamanlarda yapılan ölçümlerden elde edilen puanlar söz konusu olabilir. Araştırma sorusu " deneklerin x değişkenine ait iki puanları arasında anlamlı fark var mıdır?" şeklinde oluşturulur.

Örnek Problem Durumu:

Öğrencilere uygulanan uzaktan eğitim yöntemi sonucunda matematik dersine ilişkin ön test ve son test başarı puanlarının yer aldığı veri setine sahip olduğumuzu varsayalım.

"Öğrencilerin matematik dersi başarı puanı uzaktan eğitim yöntemi sonucunda  anlamlı bir şekilde artmış mıdır?" sorusu sorulmaktadır.

Analiz Adımları:

Spss Programı--> Analyze menüsü--> Non Parametric Tests--> 2 Related Samples adımları izlenir.

Açılan pencerede Variable1 kısmına ön test,Variable2 kısmına son test değeri aktarılır ve analiz yapılır.

Elde edilen output dosyasından ilgili veriler yorumlanmak üzere düzenlenir.

Bulguların Yorumlanması:

Tablo X. Uzaktan Eğitim  Öncesi ve Sonrası Matematik Başarısı Puanlarının  Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi Sonucu

		n	Sıra Ortalaması	Sıra Toplamı	z	p
sontest - öntest	Negatif Sıra	10	10,05	100,50
	Pozitif Sıra	10	10,95	109,50	0,16	0,87
	Eşit	0
	Total	20

 

 

Analiz sonuçlarına göre araştırmaya katılan öğrencilerin deney öncesi ve sonrası matematik başarı puanları arasında anlamlı bir fark yoktur.(z=0,16, p>0.05).  Buradan yola çıkılarak uzaktan eğitimin öğrencilerin başarılarına bir etkisi yoktur şeklinde yorum yapılabilir.

b)Mc Nemar Testi: Aynı değişkenden elde edilen önce ve sonra gözlem değerlerinden iki sonuçlu( 0 ve 1 değerini alan) değişkenlerin frekanslarını karşılaştırmak için kullanılır. Bu test sadece 2x2 tablolara uygulanır.

10.2.2.Bağımsız İki Örneklem Testleri

a) Ki-Kare Bağımsızlık Testi:

Bu teknik sınıflamalı 2 değişen arasında anlamlı bir ilişki olup olmadığını test eder. X2 sembolü ile ifade edilir. Ki kare testi, iki sınıflamalı değişkenin (satır sayısı* sütun sayısı) sonucu oluşan hücrelerde gözlenen sayılarla beklenen sayıların birbirlerinden anlamlı bir şekilde farklılık gösterip göstermediğini test eder. Analiz sürecinde "X ve Y gibi iki değişken birbirinden bağımsızdır" şeklinde yazılabilen sıfır(null) hipotezinin testini temel aldığından bu teste "Bağımsızlık Testi" de denmektedir.
Ki-kare testinde,

•  serbestlik derecesi(sd) =1 olan 2x2'lik ya da
•  sd>1 olan AxB'lik bir çapraz tablo söz konusu olabilir.

2x2'lik tabloda(sd=1) hücrelerden birinde beklenen değerin 5'ten küçük olması durumunda Fisher'ın Tam Olasılık Testi( Exact Test) kullanılır.

Serbestlik derecesinin birden büyük olduğu durumda, beklenen değeri 5'te küçük hücre sayısı %20'yi aşıyorsa ve araştırmacının denek sayısını arttırması söz konusu değilse, çözüm için üç farklı seçenek vardır. Bunlar:

1. İlgili satır ya da sütunun düzeylerinde mantıklı ise birleştirme yapılır. Bu birleştirme ile hücrelerdeki gözlem sayıları arttırılır ve bunun sonucu olarak beklenen değerler artabilir. Birleştirme "Recode" komutu ile yapılır.
2. Beklenen değerin 5'ten küçük olduğu gözenekleri azaltmak için, satır ya da sütunun ilgili düzeyleri analiz dışı bırakılabilir. Bunun için analiz dışı bırakılacak değerin "data view" ekranında "Missing Value" olarak tanımlanması gerekir.
3. İlk iki çözüm uygun değilse, yorumlar çapraz tablo üzerinden sadece frekans ve yüzdeler kullanılarak yapılır.

Ki-kare testi tarama çalışmalarında sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle anket kullanılan çalışmalarda sorulara verilen cevaplarla, soruyu cevaplayanların demografik özellikleri arasında bir ilişki olup olmadığı test edilmek istendiğinde ki-kare testi kullanılabilir. Araştırma sorusu ilişki ya da fark türünden sorulabilir. Örneğin:

• Kişinin mesleği ile araba markası tercihleri arasında anlamlı bir ilişki var mıdır?
• Kişinin araba markası tercihi, mesleğe göre anlamlı bir farklılık göstermekte midir?

Örnek Problem Durumu:

Öğrencilerin cinsiyet ve şubelere göre seçmeli ders tercihleri ile etkinlik tercihlerinin yer aldığı veri setine sahip olduğumuzu varsayalım.

" Cinsiyete göre öğrencilerin etkinlik tercihleri arasında anlamlı bir fark var mıdır?" sorusunun cevabı Ki-kare analizi ile yapılır.

Analiz Adımları:

 Bu problem durumunda iki değişkene bakılacağından Spss programından Analyze menüsü Descriptive Statics--> Crosstabs adımları uygulanır. Açılan pencerede ilgili bölümlere değişkenler aktarılır ve Statics bölümünden Chi-Square seçilir.

Elde edilen output dosyası yorumlanmak üzere düzenlenir.

Bulguların Yorumlanması:

Tablo X: Cinsiyete Bağlı Olarak Etkinlik Tercihleri Ki-Kare Testi Sonucu

Etkinlik Listesi	Cinsiyet		Toplam
	Bayan	Erkek
Basketbol	9	9	18
Voleybol	20	4	24
Hentbol	10	14	24
Tenis	9	12	21
Çim hokey	12	9	21
Toplam	60	48	108

 

 

 

 

 

  x²= 10,993     p=0,027 < 0,05

Tablo 4’te cinsiyete bağlı olarak etkinlik tercihlerinde bir farklılık olup olmadığına bakılmıştır. Yapılan ki-kare testi sonucunda  p=0,027< 0,05 olarak bulunmuştur. Bu sonuca dayalı olarak etkinlik tercihleri cinsiyete göre istatistiksel düzeyde anlamlı bir farklılık göstermektedir. Bayanlar tarafından en çok tercih edilen etkinlik Voleybol, erkekler tarafından en çok tercih edilen etkinlik ise Hentbol olmuştur. Basketbol hem bayanlar hem erkeklerde eşit sayıda tercih edilmiştir.

b)Mann-Whitney U Testi:  

İki ilişkisiz örneklemden elde edilen puanların birbirlerinden anlamlı bir şekilde farklılık gösterip göstermediğini test eder. Bu test iki ilişkisiz grubun, ilgilenilen değişken bakımından evrende benzer dağılımlara sahip olup olmadığını test eder. U testi bağımlı değişkenin en az sıralama ölçeğinde, gözlemlerin birbirinden bağımsız olmasını gerektirir.

Analizde ilk olarak iki ilişkisiz örnekleme ait puanlara, gruba bakmaksızın en küçükten en yüksek puana doğru sıra sayıları verilir. En küçük puana, en küçük sıra sayısı puanı verilerek en büyük puana doğru sıralama yapılır. Analiz, iki gruba ait puanların sıra sayıları toplamlarını temel alır. Elde edilen sıra toplamları, grup büyüklüklerine bölünerek grupların sıra ortalaması bulunur.

Araştırma sorusu:

1. Y değişkenine ait puanlar, sınıflamalı bir X değişkenine ait iki alt grup arasında anlamlı farklılık göstermekte midir?
2. Y değişkenine ait puanlar ile x değişkeni arasında anlamlı bir ilişki var mıdır? şeklinde yazılabilir.

Örnek Problem Durumu: 

Öğrencilerin matematik dersine ilişkin tutumlarının ölçülmesi amacıyla derse ait üç sınavın notları, cinsiyet, anne eğitim durumu, şube bilgisi ve ön test- son test şeklinde tutum puanlarının bulunduğu bir veri setinde:

"Öğrencilerin cinsiyete göre  tutum puanlarında anlamlı bir fark var mıdır?" problemine ait analiz için bu analizi kullanabiliriz.

Analiz Adımları: 

Spss programı içerisinde Analyze menüsü-->Non Parametric Tests -->Legacy Dialogs-->2 Independent Samples adımları takip edilir.

Açılan pencerede tutum puanı Test Variable List kısmına, Cinsiyet değişkeni ise Grouping Variable kısmına aktarılır.

Cinsiyet değişkenleri tanımlandıktan sonra Ok tuşuna basılarak analiz gerçekleştirilir ve output dosyasında analiz sonuçları yansır.

Bulguların Yorumlanması:

Output dosyasından elde edilen veriler tablo olarak düzenlenir ve yorumlanır.

Tablo X: Cinsiyete Göre Tutum Puanlarındaki Farklılık Mann-Whitney Test Sonucu

 

	Cinsiyet	N	p
Ön test tutum puanı	Kadın	423	0,753
	Erkek	565
	Toplam	988
Son test tutum puanı	Kadın	423	0,272
	Erkek	565
	Toplam	988

 

Tablo 2’deki bulgulara bakıldığında ön test tutum puanı için p=0,753 >0,05 olduğundan cinsiyete bağlı bir farklılık istatistiksel olarak anlamlı değildir.

Son test tutum puanı için ise p=0,272 > 0,05 olduğundan yine cinsiyete bağlı bir farklılık istatistiksel olarak anlamlı değildir.

Tablo 2 genel olarak yorumlandığında ön test ve son test tutum puanlarının cinsiyete bağlı olarak farklılık göstermediği sonucuna ulaşılır.

10.3 K-ÖRNEKLEM TESTLERİ

10.3.1.Eşleştirilmiş K-Örneklem Testleri

a) Cochran Q Testi:

Mc Nemar testinin genişletilmiş halidir. Sadece iki değer alan( 0 ve 1) üç veya daha fazla değişkenlerin aynı ana kütleden gelip gelmediğini test eder. Ele alınan değişkenlerin değerleri ya aynı birimlerden alınır ya da eşleştirilmiş birimlerden alınır. 

Kategorik bir değişkenin birden fazla ölçümü sonucunda ölçümlerin karşılaştırılmasında kullanılan nonparametrik bir testtir. Verilerin aralıklı veya oranlı ölçekten değil de sınıflamalı veya sıralamalı ölçek türlerinden elde edilmesi durumlarında bu analiz kullanılabilir.

Örnek Problem Durumu: Üniversite öğrencilerinin, üniversiteye girip mezuniyete kadarki mesleki kaygı duyma durumları değişmekte midir?

b)Friedman Testi:

İkiden fazla ölçümden elde edilen puan dizilerinin (ölçümlerin ortalamaları arasındaki farkların) test edilmesinde “Tekrarlı Ölçümler için Anova” kullanılıyordu. Parametrik test olan “Tekrarlı Ölçümler için Anova” nın şartlarının karşılanmaması durumunda bu analizden yararlanılır.

Bir bağımlı değişken farklı zamanlarda en az 3 kez ölçülmüşse (tekrarlı ölçümler) bu ölçümlerin karşılaştırılmasında veya en az 3 tane farklı bağımlı değişkenin ölçümünün karşılaştırılmasında ölçümler arasında fark olup olmadığına bakılırken bu test kullanılır.

Grup ortalamalarının karşılaştırıldığı Parametrik testlerde aritmetik ortalamalar karşılaştırılırken, non parametrik testlerde sıra ortalamaları karşılaştırılır.

Örnek Problem Durumu: Sayısal öğrencilerinin sayısal ders notları arasında anlamlı fark var mıdır? Öğrencilerin fizik – matematik – biyoloji notları arasında anlamlı fark var mıdır ?

Veriler aralıklı veya aralıklı veya eşit oranlı ölçekten elde edilmiş olmasına rağmen bu analizde sıralama ölçeği puanlamasına dönüştürülür (her non parametrik testte olduğu gibi). Parametrik olmayan testte ortanca (medyan) önemlidir.

Ortanca (meydan); veriler büyükten – küçüğe veya küçükten – büyüğe sıralanır. Ortada kalan değer ortancadır. 10 – 13 – 14 – 18 – 27 – 49 – 65 veya 10 – 13 – 14 – 18 – 27 – 49 – 65 (14 ile 18’ in aritmetik ortalaması olan 16 ortancadır.)

- SPSS ile uygulama;

- Analyze -> Nonparametric Tests-> Legacy Dialogs - >K Related Samples seçilir.

- değişkenler sağ bölüme atılır.

- Statistics den descriptive seçilir. OK.

Gruplar arasında fark çıkarsa (p<0.05) hangi gruplar arasında fark olduğunu tespit etmek için Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi yapmak gerekir (2 – releated samples test).

10.3.2.Bağımsız K-Örneklem Testleri

a) Kruskal Wallis H Testi:

İlişkisiz iki ya da daha çok örneklem ortalamasının birbirlerinden anlamlı farklılık gösterip göstermediğini test eder. Analizde K tane örneklemin bir bağımlı değişkene ait puanlar karşılaştırılır. Bu test bağımlı değişkenin en az sıralama ölçeğinde, gözlemlerin birbirinden bağımsız olmasını gerektirir. Analiz, puanların grup değişkenine göre oluşturulan her bir alt grupta normal dağılım ve varyansların eşitliği varsayımlarını gerektirmediği için tek yönlü varyans analizine alternatif bir tekniktir.

Örnek Problem Durumu: 

Öğrencilerin matematik dersine ilişkin tutumlarının ölçülmesi amacıyla derse ait üç sınavın notları, cinsiyet, anne eğitim durumu, şube bilgisi ve ön test- son test şeklinde tutum puanlarının bulunduğu bir veri setinde;
"Şubelere göre  son test puanlarında anlamlı bir fark var mıdır?" problemine ait analiz için bu analizi kullanabiliriz.

Analiz Adımları:

Spss programı içerisinde Analyze menüsü-->Non Parametric Tests-->K Independent Samples adımları takip edilir.

Açılan test of Several Independent Samples Tests penceresinde son tutum değişkenini test variable list kısmına, Şube değişkenini Grouping Variable kısmına aktarılır. Şube için değerleri 1-10 arası şeklinde düzenledikten sonra Ok butonuna basılır.

Analizin yapılmasının ardından output dosyası görüntülenir ve ilgili veriler düzenlenmek üzere bu dosyadan aktarılır.

Bulguların Yorumlanması:

Tablo X: Şubelere Göre Son Test Tutum Puanlarındaki Farklılık Kruskal Wallis Testi Sonucu

 

	Şube	N	x2	p
Son test tutum puanı	A	93	9,731	0,373
	B	103
	C	92
	D	80
	E	112
	F	102
	G	93
	H	97
	I	115
	J	101
	Toplam	988

 

Tablo 3’de şubelere göre matematik tutum puanlarında farklılık olup olmadığına Kruskal Wallis Testi uygulanarak analiz edilmiştir. Bulgulara bakıldığında p=0,373 > 0,05  olduğundan şubelere göre matematik dersine ilişkin tutumlarda istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık yoktur. 

10.4 BİRLİKTELİK(İLİŞKİ) ÖLÇÜLERİ

10.4.1 Sınıflayıcı Ölçme Düzeyine Sahip Değişkenler için İlişki Ölçüleri:

Sınıflayıcı ölçek ile ölçülmüş değişkenlere ait birlikteliğin ölçümünde, Kontenjans Katsayısı( Contingency Coefficient), Phi ve Cramer's V, Lambda ve Belirsizlik Katsayısı'nda(Unertainty Coefficient) yararlanılır.

Phi değeri ki-kare değerinin örneklem hacmine bölünüp, karekökünün alınması ile elde edilir. Değerler 0 ve 1 arasında yer alır. 0 değeri ilişkinin olmadığını, 1 değeri ise mükemmel ilişkinin olduğu anlamına gelir. Aynı amaçla kullanılan kontenjans katsayısında olduğu gibi, Phi sadece 2x2'lik tablolar için hesaplanır. 2x2'liktabloları aşan durumlarda birlikteliğin(ilişkinin) ölçümü için Cramer's V kullanılır. Alternatif ölçü birimi Lambda'dır. Bu değer, hatadaki kısmi azalmayı temel alan ölçülerden biridir. Bağımsız değişken değerleri bilindiğinde bağımlı değişken değerini tahmin eden dereceyi hesaplar veya gözlem birimlerinin yanlış sınıflaması sonucunda hatayı tanımlar. Eğer değişkenlerden hangisinin bağımlı hangisinin bağımsız olduğuna karar verilemez ise veya değişkenler arasında karşılıklı bir ilişki mevcut ise, SPSS'de hesaplanan asimetrik ve simetrik Lambda değerleri içinden simetrik değere bakılarak yorum yapılır. 

Theil's U olarak bilinen belirsizlik katsayısı, bağımlı değişkendeki belirsizliğin ne kadarının bağımsız değişken tarafından azaltıldığını vermektedir/Healey,2002, akt. Bayram N.)

10.4.2.Sıralayıcı Ölçme Düzeyine Sahip Değişkenler için İlişki Ölçüleri:

Sıralayıcı ölçek ile ölçülmüş değişkenlere ait birlikteliğin ölçümünde, Gamma, Somers'd, Kendall's tau-b, Kendall's tau-c'den yararlanılır.

Sıralayıcı ölçme düzeyinde ölçülmüş değişkenlerin birliktelik ölçüleri birimlerin çiftlerini karşılaştırmayı hedef alır( Cramer, 1998, akt. Bayram,2013) Birimlerin sıralamaları sonucunda uyuşan ve uyuşmayan çiftlerin sayısı arasındaki farkı standardize etmenin bir yolu Goodman ve Kruskal'in Gamma'sını kullanmaktır. Uyuşan ve uyuşmayan çiftlerin sayıları arasındaki farkın hesaplanıp, uyuşan ve uyuşmayan çiftlerin sayıları toplamına bu farkın bölünmesi ile Gamma hesaplanmış olur. bu değer -1 ile +1 arasında yer alır. Lambda gibi hatadaki kısmi azalma ölçümü olan Gamma iki değişken sıralayıcı ölçek ile ölçülmüş ise en yaygın kullanılan birliktelik ölçüsüdür.

Somer's d asimetrik ve simetrik olmak üzere farklı şekillerde hesaplanır ve -1 ile +1 arasında değer alır.

Eş gözlemler arasında bir farkın olup olmadığını sınamak için Kendall's Tau-b ve Kendall's Tau-c katsayıları kullanılır. Satır ve sütun sayıları eşit olan tablolarda kendall's Tau-b, farklı olanlarda ise Kendall's Tau-c kullanılır.

Bu değerlere SPSS programın Analyze- Descriptive Statistics menüsünden ulaşılır.

Yararlanılan Kaynaklar: 
Büyüköztürk, Ş.(2015) Sosyal Bilimler için Veri Analizi El Kitabı, Pegem Akademi Yayıncılık, Genişletilmiş 21.Baskı
Bayram, N.(2013) Sosyal Bilimlerde SPSS ile Veri Analizi,Ezgi Kitabevi, Genişletilmiş 4.Baskı